Solution à "L'art de faire avouer une équation !"

Enoncé :

Vous voulez construire une maison de 100m2. Le promoteur vous propose immédiatement un pavillon en forme de carré de 10m sur 10m. Pourquoi ? Il aurait pu vous proposer un rectangle de 5m sur 20m : 5x20 = 100 !

Mais attention au périmètre de la maison : dans le premier cas il fait 40m etdans le second 50m ! D'où une économie de 10m de mur ! Bon, assez d'indices comme ça.

La question : de tous les rectangles de surface 100m2, quel est celui qui a le plus petit périmètre ?

Et le petit coup de pouce pour la mise en équation :
il s'agit de trouver deux nombres x et y tels que xy=100 et  x+y soit minimum.

Solution :

Posons x + y = P (on raisonne sur le demi-périmètre).

Nous savons que xy = 100

Si x et y existent, ils sont solution de l'équation  x2- Px + 100 = 0

Le discriminant de cette équation est  ∆ = P2 - 400, or nous savons que pour posséder des solutions réelles, il est nécessaire d'avoir ∆  supérieur ou égal à 0 donc P2 est supérieur ou égal à 400.

La plus petite valeur possible de P est atteinte lorsque P2 = 400

Mais alors  ∆ = 0, l'équation admet une racine double,
ce qui signifie que x = y = 10

C'est un carré. Ce résultat est général : de tous les rectangles ayant une surface donnée, celui qui a le plus petit périmètre est le carré ; de tous les rectangles ayant un périmètre donné, celui qui a la plus grande surface est encore le carré.

Intéressant, n'est-il pas ?